Question

如图，在四棱锥A-BEFP中，AE⊥底面BEFP，BE⊥EF，，AE=1，BE=FA=PB=2．
（1）求直线AE与平面ABP所成角的大小；
（2）求二面角B-AP-F的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立空间直角坐标系，确定，平面ABP的一个法向量，利用向量的夹角公式，可得结论；
（2）确定平面AFP、平面ABP的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可得到结论．
解答：解：（1）因为AE⊥底面BEFP，所以AE⊥BE，AE⊥EF，又BE⊥EF，所以AE，BE，EF三条直线两两垂直，以E为原点，EB，EF，EA分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz，…..（2分）
在图2中，AE=1，BE=2，又AF=2，AE⊥EF，所以
所以，，，，
又PB=2，，所以…（4分）
∴，
设平面ABP的一个法向量，
∴，∴
令x=3，则，所以…（6分）
设直线AE与平面ABP所成的角为θ，∴
所以直线AE与平面ABP所成的角为60°…．（8分）
（2）设平面AFP的一个法向量
∴，，∴
∴a=0，令，则c=3，得…．（10分）
∴，…．（12分）
因为二面角B-AP-F为钝角，所以二面角B-AP-F的大小余弦值为…．（13分）
点评：本题考查线面角，考查面面角，考查利用向量知识解决空间角，解题的关键是确定平面法向量的坐标．