Question

如图，在四棱锥A-BEFP中，AE⊥底面BEFP，BE⊥EF，∠EBP=

π

3

，AE=1，BE=FA=PB=2．
（1）求直线AE与平面ABP所成角的大小；
（2）求二面角B-AP-F的余弦值．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，确定

AE

=(0，0，-1)，平面ABP的一个法向量

n

=(3，

3

，6)，利用向量的夹角公式，可得结论；
（2）确定平面AFP、平面ABP的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可得到结论．

解答：解：（1）因为AE⊥底面BEFP，所以AE⊥BE，AE⊥EF，又BE⊥EF，所以AE，BE，EF三条直线两两垂直，以E为原点，EB，EF，EA分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz，…..（2分）
在图2中，AE=1，BE=2，又AF=2，AE⊥EF，所以EF=

3

所以E

0，0，0

，A

0，0，1

，B

2，0，0

，F

0， 3 ，0

，
又PB=2，∠EBP=

π

3

，所以P

1， 3 ，0

…（4分）
∴

AB

=(2，0，-1)；

AP

=(1，

3

，-1)，

AE

=(0，0，-1)
设

n

=(x，y，z)平面ABP的一个法向量，
∴

A B • n =0 AP • n =0

，∴

2x-z=0 x+ 3 y-z=0

令x=3，则z=6，y=

3

，所以

n

=(3，

3

，6)…（6分）
设直线AE与平面ABP所成的角为θ，∴sinθ=

| AE • n |

| AE |•| n |

=

6

4 3

=

3

2

所以直线AE与平面ABP所成的角为60°…．（8分）
（2）设

m

=(a，b，c)平面AFP的一个法向量
∴

AF

=(0，

3

，-1)；

AP

=(1，

3

，-1)，

AF • n =0 AP • n =0

，∴

3 b-c=0 a+ 3 b-c=0

∴a=0，令b=

3

，则c=3，得

m

=(0，

3

，3)…．（10分）
∴cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n |•| m |

=

21

4 3 ×2 3

=

7

8

，…．（12分）
因为二面角B-AP-F为钝角，所以二面角B-AP-F的大小余弦值为-

7

8

…．（13分）

点评：本题考查线面角，考查面面角，考查利用向量知识解决空间角，解题的关键是确定平面法向量的坐标．