题目内容
已知函数f（x）=2x+2-x，求函数的单调区间并证明．
考点：函数单调性的判断与证明
专题：函数的性质及应用
分析：根据基本不等式得出函数f（x）有最小值，由此判断f（x）在（-∞，0）上是减函数，（0，+∞）是增函数；再用定义证明即可．
解答：
解：函数f（x）=2x+2-x在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）是增函数；
证明如下：任取x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2；
则f（x1）-f（x2）=（2x1+2-x1）-（2x2+2-x2）
=（2x1-2x2）+（2-x1-2-x2）
=（2x1-2x2）（1-
）；
∵0＜x1＜x2，
∴2x1＜2x2，
＜1，
∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；
同理，f（x）在（-∞，0）上是减函数；
∴函数f（x）的单调减区间是（-∞，0），单调增区间是（0，+∞）．
证明如下：任取x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2；
则f（x1）-f（x2）=（2x1+2-x1）-（2x2+2-x2）
=（2x1-2x2）+（2-x1-2-x2）
=（2x1-2x2）（1-
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| 2x1•2x2 |
∵0＜x1＜x2，
∴2x1＜2x2，
| 1 |
| 2x1•2x2 |
∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；
同理，f（x）在（-∞，0）上是减函数；
∴函数f（x）的单调减区间是（-∞，0），单调增区间是（0，+∞）．
点评：本题考查了判断函数的单调性以及求函数的单调区间的应用问题，是基础题目．
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设α，β都是锐角，且cosα=
，sin（α-β）=
，则cosβ=（ ）
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A、
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B、-
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C、
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D、
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“a＞4”是“a2＞16”的（ ）
| A、充分不必要条件 |
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