Question

【题目】在平面直角坐标系中，椭圆：的上顶点为，左、右焦点分别为，，直线的斜率为，点，在椭圆上，其中是椭圆上一动点，点坐标为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）作直线与轴垂直，交椭圆于，两点（，两点均不与点重合），直线，与轴分别交于点，，试求的最小值.

Answer 1

【答案】(1) (2)4

【解析】

（1）根据直线的斜率求得的关系式，结合在椭圆上列方程，求得的值，进而求得椭圆标准方程.

（2）设出的坐标，求得直线的方程，由此求得的坐标，即求得的表达式，对利用基本不等式，结合的坐标满足椭圆方程进行化简，由此求得的最小值.

（1）由直线的斜率为可知直线的倾斜角为.

在中，，于是，，

椭圆：，将代入得，所以.

所以，椭圆的标准方程.

（2）设点，，，

于是，直线：，令，，

所以，

直线：，令，，

所以，

，

又，，

代入上式并化简，

即，

当（即）时取得最小值.