题目内容
8．经过椭圆$\frac{x^2}{2}$+y2=1的左焦点F1作倾斜角为$\frac{π}{3}$的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则AB的长为（ ）| A． | $\frac{{2\sqrt{2}}}{7}$ | B． | $\frac{{4\sqrt{2}}}{7}$ | C． | $\frac{{6\sqrt{2}}}{7}$ | D． | $\frac{{8\sqrt{2}}}{7}$ |
分析 由题意可知直线方程为y=$\sqrt{3}$（x+1），将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理可知x1+x2=-$\frac{12}{7}$，x1x2=$\frac{4}{7}$，根据弦长公式即可求得AB的长．
解答 解：∵椭圆方程：$\frac{x^2}{2}$+y2=1
∴焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），
∵直线AB过左焦点F1倾斜角为60°，
∴直线AB的方程为y=$\sqrt{3}$（x+1），
∴由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得7x2+12x+4=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），可得
x1+x2=-$\frac{12}{7}$，x1x2=$\frac{4}{7}$，
由现场公式丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+（\sqrt{3}）^{2}}$•$\sqrt{（-\frac{12}{7}）^{2}-4×\frac{4}{7}}$=$\frac{8\sqrt{2}}{7}$，
故答案选：D．
点评 本题考查椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与椭圆的位置关系，韦达定理及弦长公式等知识，考查计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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18．光线从点A（-2，1）射到x轴后反射到B（4，3）则光线从A到B经过的总路线为（ ）
| A． | 2$\sqrt{10}$ | B． | 2$\sqrt{13}$ | C． | 2$\sqrt{11}$ | D． | 4$\sqrt{3}$ |
3．下列命题中错误的是（ ）
| A． | 若m∥n，n⊥β，m?α，则α⊥β | B． | 若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γ | ||
| C． | 若α⊥β，a?α，则a⊥β | D． | 若α⊥β，a∩β=AB，a∥α，a⊥AB，则a⊥β |