Question

2．已知函数f（x）=lnx-1+$\frac{1}{x}$．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）对任意x∈（0，1）∪（1，e）（其中e为自然对数的底数），都有$\frac{alnx}{x-1}$＞1（a＞0）恒成立，求正数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）①x∈（0，1）时，问题转化为即a＞$\frac{x-1}{lnx}$在（0，1）恒成立，根据函数的单调性求出a的范围，②x∈（1，e）时，问题转化为即a＞$\frac{x-1}{lnx}$在（1，e）恒成立，根据函数的单调性求出a的范围，取交集即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，x＞0，
令f′（x）＞0，得x＞1，令f′（x）＜0，得0＜x＜1，
∴函数f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；
（2）∵$\frac{alnx}{x-1}$＞1，∴$\frac{alnx-（x-1）}{x-1}$＞0，
①x∈（0，1）时，x-1＜0，则alnx＜x-1在（0，1）恒成立，
即a＞$\frac{x-1}{lnx}$在（0，1）恒成立，
令g（x）=$\frac{x-1}{lnx}$，x∈（0，1），则g′（x）=$\frac{lnx-1+\frac{1}{x}}{{（lnx）}^{2}}$，
由（1）得：f（x）=lnx-1+$\frac{1}{x}$在（0，1）递减，
∴f（x）＞f（1）=0，∴g′（x）＞0，
g（x）在（0，1）递增，
而$\underset{lim}{x→1}$$\frac{x-1}{lnx}$=$\underset{lim}{x→1}$$\frac{1}{\frac{1}{x}}$=$\underset{lim}{x→1}$x=1，
∴g（x）＜1，∴a≥1；
②x∈（1，e）时，x-1＞0，则alnx＞x-1，
即a＞$\frac{x-1}{lnx}$在（1，e）恒成立，
令h（x）=$\frac{x-1}{lnx}$，x∈（1，e），则h′（x）=$\frac{lnx-1+\frac{1}{x}}{{（lnx）}^{2}}$，
由（1）得：f（x）=lnx-1+$\frac{1}{x}$在（1，e）递增，
∴f（x）＞f（1）=0，∴h′（x）＞0，
h（x）在（1，e）递增，
∴h（x）＜h（e）=e-1，
∴a≥e-1，
综上，a≥e-1．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．