Question

【题目】已知正方形边长为，若在正方形边上恰有个不同的点，使，则的取值范围为_____________.

Answer 1

【答案】

【解析】

建立坐标系，逐段分析的取值范围及对应的解得答案．

以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系如图：

则F（0，2），E（8，4）

（1）若P在AB上，设P（x，0），0≤x≤8

∴（﹣x，2），（8﹣x，4）

∴x2﹣8x+8，

∵x∈[0，8]，∴﹣88，

∴当λ＝﹣8时有一解，当﹣8＜λ≤8时有两解；

（2）若P在AD上，设P（0，y），0＜y≤8，

∴（0，2﹣y），（8，4﹣y）

∴（2﹣y）（4﹣y）＝y2﹣6y+8

∵0＜y≤8，∴﹣124

∴当λ＝﹣1或8＜λ＜24时有唯一解；当﹣1＜λ≤8时有两解

（3）若P在DC上，设P（x，8），0＜x≤8

∴（﹣x，﹣6），（8﹣x，﹣4），

∴x2﹣8x+24，

∵0＜x≤8，∴824，

∴当λ＝8时有一解，当8＜λ≤24时有两解．

（4）若P在BC上，设P（8，y），0＜y＜8，

∴（﹣8，2﹣y），（0，4﹣y），

∴（2﹣y）（4﹣y）＝y2﹣6y+8

∵0＜y＜8，∴﹣124，

∴当λ＝﹣1或8＜λ＜24时有一解，当﹣1＜λ≤8时有两解．

综上，在正方形ABCD的四条边上有且只有6个不同的点P，使得λ成立，那么λ的取值范围是（﹣1，8）

故答案为：（﹣1，8）