Question

【题目】如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，，为的中点.

（1）证明：平面.

（2）若是等边三角形，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析，（2）

【解析】

（1）根据等腰三角形三线合一证明和即可得证；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量求解二面角.

（1）证明：连接.

因为，，，所以，所以.

因为为的中点，所以.

因为为的中点，且，所以.

因为，所以平面.

（2）解：取的中点，连接，因为是等边三角形，所以.

由（1）可知平面，则，，两两垂直，故以为原点，所在直线为轴，过作的平行线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系.

因为底面是边长为4的等边三角形，所以.

因为是等边三角形，所以.

所以，，，，则，.

设平面的法向量，

则，令，得.

易知平面的一个法向量为，

记二面角为，则，

故.