Question

4．已知数列{a_n}满足a₁=2，a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃+…+$\frac{1}{n}$a_n=a_n+1-2（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）若b_n=a_n•（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）${\;}^{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用迭代法得到$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，由此利用累乘法能求出数列{a_n}通项公式．
（2）由b_n=a_n•（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）${\;}^{{a}_{n}}$=2n×$（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2n}$=$\frac{2n}{{3}^{n}}$，利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和．

解答 解：（1）∵数列{a_n}满足a₁=2，a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃+…+$\frac{1}{n}$a_n=a_n+1-2（n∈N^*），①
a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃+…+$\frac{1}{n-1}{a}_{n-1}$=a_n-2（n∈N^*），②
①-②，得：$\frac{1}{n}{a}_{n}$=a_n+1-a_n，整理，得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，
∴${a}_{n}={a}_{1}×\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}×\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}×…×\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$
=$2×\frac{2}{1}×\frac{3}{2}×…×\frac{n}{n-1}$
=2n．
∴数列{a_n}通项公式a_n=2n．
（2）∵b_n=a_n•（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）${\;}^{{a}_{n}}$=2n×$（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2n}$=$\frac{2n}{{3}^{n}}$，
∴数列{b_n}的前n项和：
S_n=$\frac{2}{3}+\frac{4}{{3}^{2}}+\frac{6}{{3}^{3}}+…+\frac{2n}{{3}^{n}}$，①
$\frac{1}{3}{S}_{n}$=$\frac{2}{{3}^{2}}+\frac{4}{{3}^{3}}+\frac{6}{{3}^{4}}+…+\frac{2n}{{3}^{n+1}}$，②
①-②，得：$\frac{2}{3}{S}_{n}$=$\frac{2}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}+\frac{2}{{3}^{3}}+…+\frac{2}{{3}^{n}}$-$\frac{2n}{{3}^{n+1}}$
=$\frac{\frac{2}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{2n}{{3}^{n+1}}$
=1-$\frac{1}{{3}^{n}}-\frac{2n}{{3}^{n+1}}$．
∴S_n=$\frac{3}{2}$-（$\frac{3}{2}+n$）$•\frac{1}{{3}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累乘法和错位相减法的合理运用．