题目内容

函数f（x）=ax（x-2）²（a≠0）有极大值 $数学公式$ ，则a等于

A.
1
B.
$数学公式$
C.
2
D.
3

B
分析：利用导数分a＞0，a＜0两种情况求得f（x）的极大值，使其等于 $\text{[math]}$ ，解此方程即可求得a值．
解答：f′（x）=a（x-2）（3x-2），
（1）当a＞0时，由f′（x）＞0得x＜ $\text{[math]}$ 或x＞2；由f′（x）＜0得 $\text{[math]}$ ＜x＜2，
所以f（x）在（-∞， $\text{[math]}$ ），（2，+∞）上单调递增，在（ $\text{[math]}$ ，2）上单调递减；
此时，当x= $\text{[math]}$ 时f（x）取得极大值f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ a（ $\text{[math]}$ -2）²= $\text{[math]}$ ，解得a= $\text{[math]}$ ；
（2）当a＜0时，由f′（x）＜0得x＜ $\text{[math]}$ 或x＞2；由f′（x）＞0得 $\text{[math]}$ ＜x＜2，
所以f（x）在（-∞， $\text{[math]}$ ），（2，+∞）上单调递减，在（ $\text{[math]}$ ，2）上单调递增；
此时，当x=2时f（x）取得极大值f（2）=2a（2-2）²= $\text{[math]}$ ，无解；
综上所述，所求a值为 $\text{[math]}$ ．
故选B．
点评：本题考查利用导数求函数极值问题，属基础题，熟练掌握函数在某点取得极值的条件是解决该类问题的关键．