Question

已知函数f（x）=x²+1，g（x）=4x+1，的定义域都是集合A，函数f（x）和g（x）的值域分别为S和T，
①若A=[1，2]，求S∩T
②若A=[0，m]且S=T，求实数m的值
③若对于集合A的任意一个数x的值都有f（x）=g（x），求集合A．

Answer 1

考点：集合的包含关系判断及应用

专题：函数的性质及应用

分析：①根据函数的定义域分别求出两个奇函数的值域，根据集合的基本运算求S∩T．
②根据条件A=[0，m]且S=T，建立条件关系即可求实数m的值．
③根据条件f（x）=g（x）建立条件关系即可求集合A．

解答： 解：（1）若A=[1，2]，
则函数f（x）=x²+1的值域是S=[2，5]，
g（x）=4x+1的值域T=[5，9]，
∴S∩T={5}．
（2）若A=[0，m]，则S=[1，m²+1]，T=[1，4m+1]，
由S=T得m²+1=4m+1，解得m=4或m=0（舍去）．
（3）若对于A中的每一个x值，都有f（x）=g（x），
即x²+1=4x+1，
∴x²=4x，
解得x=4或x=0，
∴满足题意的集合是{0]，或{4}或{0，4}．

点评：本题主要考查了二次函数、一次函数的性质，集合相等，集合的表示方法．考查对知识的准确理解与掌握．