题目内容

已知△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=6，向量 $数学公式$ =（2sinc，- $数学公式$ ）， $数学公式$ =（cos2c， $数学公式$ -1）且 $数学公式$ ∥ $数学公式$ ．
（1）求锐角C的大小；
（2）求△ABC的面积S_△ABC的取值范围．

解：（1）△ABC中，∵ $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，∴2sinC （2 $\text{[math]}$ -1）=- $\text{[math]}$ cos2C，∴sin2C=- $\text{[math]}$ cos2C，∴tan2C=- $\text{[math]}$ ，∴C= $\text{[math]}$ ．
（2）∵C= $\text{[math]}$ ，c=6，由余弦定理可得 c²=a²+b²-2ab•cosC，可得 a²+b²=ab+36．
又 a²+b²≥2ab 代入上式得：ab≤36 （当且仅当a=b=6时等号成立．）
∴S_△ABC= $\text{[math]}$ ab•sinC= $\text{[math]}$ ab≤9 $\text{[math]}$ （当且仅当a=b=c时等号成立．）
∴S_△ABC 的面积的取值范围为（0，9 $\text{[math]}$ ]．
分析：（1）△ABC中，由 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，可得 sin2C=- $\text{[math]}$ cos2C，可得 tan2C=- $\text{[math]}$ ，由此求得 C的值．
（2）由余弦定理可得 a²+b²=ab+36，再利用基本不等式求得 ab≤36，再根据S_△ABC= $\text{[math]}$ ab，求得它的最大值，从而得到△ABC的面积S_△ABC的取值范围．
点评：本题主要考查两个向量共线的性质，同角三角函数的基本关系、基本不等式的应用，属于中档题．