Question

已知△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=6，向量

a

=（2sinc，-

3

），

b

=（cos2c，2cos2

c

2

-1）且

a

∥

b

．
（1）求锐角C的大小；
（2）求△ABC的面积S_△ABC的取值范围．

Answer 1

分析：（1）△ABC中，由

a

∥

b

，可得 sin2C=-

3

cos2C，可得 tan2C=-

3

，由此求得 C的值．
（2）由余弦定理可得 a²+b²=ab+36，再利用基本不等式求得 ab≤36，再根据S_△ABC=

3

4

ab，求得它的最大值，从而得到△ABC的面积S_△ABC的取值范围．

解答：解：（1）△ABC中，∵

a

∥

b

，∴2sinC （2cos2

C

2

-1）=-

3

cos2C，∴sin2C=-

3

cos2C，∴tan2C=-

3

，∴C=

π

3

．
（2）∵C=

π

3

，c=6，由余弦定理可得 c²=a²+b²-2ab•cosC，可得 a²+b²=ab+36．
又  a²+b²≥2ab 代入上式得：ab≤36 （当且仅当a=b=6时等号成立．）
∴S_△ABC=

1

2

ab•sinC=

3

4

ab≤9

3

（当且仅当a=b=c时等号成立．） 
∴S_△ABC 的面积的取值范围为（0，9

3

]．

点评：本题主要考查两个向量共线的性质，同角三角函数的基本关系、基本不等式的应用，属于中档题．