题目内容
已知△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量
=（2sinB，
），
=（cosB，cos2B），且
⊥
（Ⅰ）求锐角B的大小，
（Ⅱ）如果b=2，求ac的最大值．
| m |
| 3 |
| n |
| m |
| n |
（Ⅰ）求锐角B的大小，
（Ⅱ）如果b=2，求ac的最大值．
分析：（Ⅰ）利用
⊥
?
•
=0，两角和的正弦公式及正弦函数的单调性即可得出；
（II）利用余弦定理和基本不等式即可得出．
| m |
| n |
| m |
| n |
（II）利用余弦定理和基本不等式即可得出．
解答：解：（Ⅰ）∵
⊥
，
∴2sinBcosB+
cos2B=0，
∴sin2B+
cos2B=0，
∴2(
sin2B+
cos2B)=0，
∴sin(2B+
)=0，
又0＜B＜
，
∴
＜2B+
＜
，
∴2B+
=π，
解得B=
．
（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，
∴22=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac，
∴ac≤4．当且仅当a=c时取到等号，
∴ac的最大值为4．
| m |
| n |
∴2sinBcosB+
| 3 |
∴sin2B+
| 3 |
∴2(
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∴sin(2B+
| π |
| 3 |
又0＜B＜
| π |
| 2 |
∴
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
∴2B+
| π |
| 3 |
解得B=
| π |
| 3 |
（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，
∴22=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac，
∴ac≤4．当且仅当a=c时取到等号，
∴ac的最大值为4．
点评：本题考查了
⊥
?
•
=0、两角和的正弦公式及正弦函数的单调性、余弦定理和基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
| m |
| n |
| m |
| n |
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，
，且
．