Question

如图直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=CC₁=2，AB=BC，D是BA₁上一点，且AD⊥平面A₁BC．
（1）求证：BC⊥平面ABB₁A₁；
（2）在棱BB₁是否存在一点E，使平面AEC与平面ABB₁A₁的夹角等于60°，若存在，试确定E点的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）证明BC⊥平面ABB₁A₁，利用线面垂直的判定，证明AD⊥BC，AA₁⊥BC即可；
（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，设存在满足条件的点E坐标为（0，0，a）（0＜a＜2），求出平面ABB₁A₁的法向量=，平面ACE的法向量，利用平面AEC与平面ABB₁A₁的夹角等于60°，结合向量的夹角公式，即可求得结论．
解答：（1）证明：∵AD⊥平面A₁BC，BC?平面A₁BC
∴AD⊥BC．
∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∴AA₁⊥平面ABC，
∵BC?平面ABC，∴AA₁⊥BC．
∵AD∩AA₁=A，AD?平面ABB₁A₁，AA₁?平面ABB₁A₁，
∴BC⊥平面ABB₁A₁．
（2）解：∵BC⊥平面ABB₁A₁，AB?平面ABB₁A₁
∴BC⊥AB．
又BB₁⊥AB，BB₁⊥BC，于是可建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz．
∵△ABC是等腰直角三角形，且斜边AC=2，
∴．
从而，
设存在满足条件的点E坐标为（0，0，a）（0＜a＜2）
由（1）知平面ABB₁A₁的法向量=，
令平面ACE的法向量，由，可得
令得．
∵平面AEC与平面ABB₁A₁的夹角等于60°
∴，解得a=1
所以当E为棱BB₁中点时平面AEC与平面ABB₁A₁的夹角等于60°．
点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，正确掌握线面垂直的判定定理，合理建立空间直角坐标系是关键．