题目内容

给出下列四个命题：
（1）命题“?x∈R，x²-x＞0”的否定是“ $数学公式$ ”；
（2）定义在R上的奇函数f（x），满足f（x+2）=-f（x），则f（6）的值为0；
（3）函数y=log₂x+x²-2在（1，2）内只有一个零点；
（4）单位向量 $数学公式$ 、 $数学公式$ 的夹角是60°，则向量2 $数学公式$ - $数学公式$ 的模是2．
（5）“k=1”是“函数y=cos²kx-sin²kx的最小正周期为π”的充要条件．
其中正确命题的序号是________（写出所有正确命题的序号）．

解：（1）命题的否定，将量词与结论同时否定，故命题“?x∈R，x²-x＞0”的否定是“?x∈R，x²-x≤0”．（1）错；
（2）因为f（x+2）=-f（x），所以f（6）=-f（4）=f（2）=-f（0），
又f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（0）=0，所以f（6）=0，故（2）对；
（3）在同一坐标系中画出函数y₁=log₂x与y₂=-x²+2的图象；
由函数y₁=log₂x与y₂=-x²+2的图象可得函数y=log₂x+x²-2在（1，2）内只有一个零点．故（3）对；
（4）∵两个单位向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的夹角是60°，
∴|2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |²=4 $\text{[math]}$ ²-4 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ²=4-4×1×1×cos60°+1=3，
故|2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ ．（4）错；
（5）当k=-1，函数y=cos²（-x）-sin²（-x）=cos2x，最小正周期也为π，是个假命题；
故答案为：（2）（3）．
分析：（1）命题的否定，将量词与结论同时否定，按照这个规则进行判断；
（2）利用奇函数的性质f（0）=0及条件f（x+2）=-f（x）即可求出f（6）；
（3）在同一坐标系中画出y₁=log₂x与y₂=-x²+2的图象，分析出两个函数图象交点的个数，即可求出函数y=log₂x+x²-2在（1，2）内的零点的个数；
（4）由条件利用两个向量的数量积的定义求出|2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |²的值，从而得到|2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |的值；
（5）取特殊值k=-1，函数y=cos²kx-sin²kx的最小正周期也为π，可判定真假．
点评：本题主要考查了命题的真假判断与应用，函数的零点与充要条件的判断，以及向量及其模等，是一道综合题．