Question

18．（1）若函数f（x）=ax²-x-1有且仅有一个零点，求实数a的值；
（2）若函数f（x）=|4x-x²|-k有4个零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=0时，f（x）=-x-1有唯一零点-1，符合题意；当a≠0时，f（x）有唯一零点，即ax²-x-1=0有惟一解，则△=1+4a=0；综合可得答案．
（2）设g（x）=|4x-x²|，画出函数图象，数形结合可得实数k的取值范围．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=-x-1有唯一零点-1，符合题意；（3分）
当a≠0时，f（x）有唯一零点，即ax²-x-1=0有惟一解．
由△=1+4a=0得a=-$\frac{1}{4}$．
综上可知a的值为0或-$\frac{1}{4}$．（6分）
（2）设g（x）=|4x-x²|，画出其图象如图所示．

函数f（x）有4个零点，即方程g（x）-k=0有4个不同的实数解，
也就是y=g（x）的图象与直线y=k有4个不同的公共点，
由图可知0＜k＜4．（12分）

点评 本题考查的知识点是函数的零点及个数判断，数形结合思想，分类讨论思想，难度中档．