Question

7．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点与椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为y=±$\sqrt{3}$x．

Answer 1

分析 根据椭圆的标准方程求出c，利用双曲线的离心率建立方程求出a，b，即可求出双曲线的渐近线方程．

解答 解：∵椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
∴椭圆中的a₁=5，b₁=3，则c=4，
∵双曲线的焦点与椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的焦点相同，
∴双曲线中c=4，
∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{4}{a}$=2，则a=2．
在双曲线中b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{16-4}$=$\sqrt{12}$=2$\sqrt{3}$，
则双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x=±$\frac{2\sqrt{3}}{2}$x=±$\sqrt{3}$x，
故答案为：y=±$\sqrt{3}$x．

点评 本题主要考查双曲线渐近线的求解，根据椭圆和双曲线的关系建立方程求出a，b，c是解决本题的关键．