Question

（2013•丽水一模）已知数列{a_n}的首项a₁=1，其前n项和Sn=n2•an（n∈N^*），则a₉=

1

45

．

Answer 1

分析：由Sn=n2•an（n∈N^*）①，得Sn-1=(n-1)2•an-1（n≥2）②，两式相减可得递推式，整理变为

an

an-1

=

n-1

n+1

，利用累乘法即可求得a₉．

解答：解：由Sn=n2•an（n∈N^*）①，得Sn-1=(n-1)2•an-1（n≥2）②，
①-②得a_n=n²•a_n-（n-1）²•a_n-1，即(n2-1)an-(n-1)2an-1=0，
又a₁=1，所以

an

an-1

=

n-1

n+1

，
所以a₉=a₁•

a2

a1

×

a3

a2

×

a4

a3

×…×

a9

a8

=1×

1

3

×

2

4

×

3

5

×…×

8

10

=

2

9

×

1

10

=

1

45

，
故答案为：

1

45

．

点评：本题考查数列求和及通项公式，考查数列的递推公式，若数列{a_n}满足

an+1

an

=f(n)，则可考虑用累乘法求a_n，且an=a1•

a2

a1

•

a3

a2

…

an

an-1

（n≥2），注意检验n=1时情形．