题目内容
【题目】已知直线
与抛物线
：
交于
，
两点，且
的面积为16（
为坐标原点）.
（1）求的方程；
（2）直线
经过的焦点
且不与
轴垂直，与交于
，
两点，若线段
的垂直平分线与轴交于点
，证明：
为定值.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
（1）将
代入抛物线方程求出
两点坐标，由三角形面积可求得
，得抛物线方程；
（2）直接设直线
的方程为
，代入抛物线方程，设
，
，则可得
，由焦点弦长公式得
，同时可得
中点坐标，写出中垂线方程，求出
点坐标及
，然后求比值
可得．
（1）解：将代入
，得
，
所以
的面积为
.
因为
，所以
，
故
的方程为.
（2）证明：由题意设直线的方程为，
由
，得
.
设，，则，
所以.
因为线段的中点的横坐标为
，纵坐标为
，
所以线段的垂直平分线的方程为
，
令
，得
，所以的横坐标为
，
所以
，
故
为定值.
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