Question

【题目】设三棱锥的每个顶点都在球的球面上，是面积为的等边三角形，，，且平面平面.

（1）确定的位置（需要说明理由），并证明：平面平面.

（2）与侧面平行的平面与棱，，分别交于，，，求四面体的体积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）在上，理由见解析，证明见解析，（2）

【解析】

（1）取的中点，连接，可证在线段上，且平面，从而得到平面平面.

（2）设，可证，利用导数可求体积的最大值.

（1）证明：取的中点，连接，取点为的三等分点且，

连接.

因为，所以.

又平面平面，平面平面，平面，

所以平面.

因为平面，故.

因为为等腰直角三角形，为的中点，故，

因为，，

故，故，同理，

因为是等边三角形，故为的中心，故，

故为三棱锥的外接球的球心，

故与重合即在线段上且.

因为在上，所以平面，

又平面，所以平面平面.

（2）由题意得，解得，

因为为等腰直角三角形，为的中点，故，

而平面平面，平面平面，

平面，故平面，故为点到平面的距离.

在等腰直角三角形中，即到平面的距离.

设，到平面的距离为.

因为平面平面，平面平面，平面平面，

故，同理，因为方向相同，故，

同理，

所以，则的面积为.

又，所以到平面的距离为，

所以四面体的体积.

设，，

当时，；当时，.

所以在为增函数，在为减函数，

所以，

即四面体的体积的最大值为.