Question

已知函数f（x）=log₂x+log_x2^k在[2，4]上是单调函数，则实数k的取值范围是（　　）

• A、1≤k≤4
• B、k≤1
• C、k≥4
• D、k≤1或k≥4

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：先用换底公式求出f（x）=log2x+

k

log2x

，求f′（x）=

log22x-k

xlog22x•ln2

，所以根据题意便有，k≤log²₂x，或k≥log²₂x，在[2，4]上恒成立，根据函数log²₂x在[2，4]上的最大值，最小值即可求出k的取值范围．

解答： 解：f（x）=log2x+

k

log2x

；
∴f′（x）=

log22x-k

xlog22x•ln2

；
∵f（x）在[2，4]上是单调函数；
∴k≤log²₂x，或k≥log²₂x在[2，4]上恒成立；
log²₂x在[2，4]上的最小值为1，最大值为4；
∴k≤1，或k≥4．
故选D．

点评：考查对数的换底公式，单调函数的导数的取值情况，对数函数的单调性，注意正确求导．