Question

已知双曲线x²－=1,过点A(2，1)的直线l与已知双曲线交于P₁、P₂两点.

(1)求线段P₁P₂的中点P的轨迹方程；

(2)过点B(1，1)能否作直线l′,使l′与已知双曲线交于两点Q₁、Q₂，且B是线段Q₁Q₂的中点?请说明理由.

Answer 1

(1) 中点P的轨迹方程是2x²－y²－4x+y=0.(2)见解析

解析:

(1)解法一:设点P₁、P₂的坐标分别为(x₁，y₁)、(x₂，y₂)，中点P的坐标为(x,y),则有x₁²－=1,x₂²－=1,两式相减，得

2(x₁+x₂)(x₁－x₂)=(y₁+y₂)(y₁－y₂).

当x₁≠x₂,y≠0时,

由x₁+x₂=2x,y₁+y₂=2y,

得=.                                                                                                      ①

又由P₁、P₂、P、A四点共线，

得=.                                                                                                         ②

由①②得=,

即2x²－y²－4x+y=0.

当x₁=x₂时，x=2,y=0满足此方程，故中点P的轨迹方程是2x²－y²－4x+y=0.

解法二:设点P₁、P₂、中点P的坐标分别为(x₁,y₁)、(x₂,y₂)、(x,y),

直线l的方程为y=k(x－2)+1,将l方程代入双曲线x²－=1中，

得(2－k²)x²+2k(2k－1)x+2k²－3=0,

则x₁+x₂=,x₁x₂=,

y₁+y₂=k(x₁+x₂)+2－4k=.

于是             

当y≠0时，由①②得k=.将其代入①，整理得2x²－y²－4x+y=0.当l倾斜角为90°时，P点坐标为(2，0)仍满足此方程，故中点P的轨迹方程为2x²－y²－4x+y=0.

(2)假设满足题设条件的直线l′存在，Q₁、Q₂的坐标分别为(x₃,y₃)、(x₄,y₄),同(1)得2(x₃+x₄)(x₃－x₄)=(y₃+y₄)(y₃－y₄).

∵x₃+x₄=2,y₃+y₄=2,

∴=2(x₃≠x₄),

即l′的斜率为2.

∴l′的直线方程为y－1=2(x－1)，

即y=2x－1.

∵方程组无解，与假设矛盾,

∴满足条件的直线l′不存在.