Question

（2012•闸北区一模）设

a

、

b

为平面内两个互相垂直的单位向量，向量

c

满足(

c

+

a

)•(

c

-

b

)=0，则|

c

|的最大值为

2

．

Answer 1

分析：根据条件和(

c

+

a

)•(

c

-

b

)=0可得|

c

|2=-

c

•

a

+

c

•

b

=

c

•(

b

-

a

)然后再根据数量积的定义可得|

c

|2=|

c

||

b

- 

a

|cos＜

c

，

b

- 

a

＞再结合0≤＜

c

，

b

- 

a

＞≤π可得|cos＜

c

，

b

- 

a

＞|≤1即|

c

 |≤|

a

-

b

|从而可求出结果．

解答：解：∵(

c

+

a

)•(

c

-

b

)=0
∴两边平方可得|

c

|2+

c

•

a

-

c

•

b

-

a

• 

b

=0
∵

a

、

b

为平面内两个互相垂直的单位向量
∴

a

• 

b

=0
∴|

c

|2+

c

•

a

-

c

•

b

=0
∴|

c

|2=-

c

•

a

+

c

•

b

=

c

•(

b

-

a

)
∴|

c

|2=|

c

||

b

- 

a

|cos＜

c

，

b

- 

a

＞
∵0≤＜

c

，

b

- 

a

＞≤π
∴|cos＜

c

，

b

- 

a

＞|≤1
∴|

c

 |≤|

a

-

b

|=

( a - b )2

=

| a |-2 a • b  +| b |2

=

2

∴|

c

|的最大值为

2

故答案为

2

点评：本题主要考察平面向量数量积的计算，属常考题，较难．解题的关键是根据0≤＜

c

，

b

- 

a

＞≤π得到|cos＜

c

，

b

- 

a

＞|≤1进而建立关于|

c

|的不等式|

c

 |≤|

a

-

b

|！