题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 的离心率为 $数学公式$ ，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1，过点M（3，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，
（1）求椭圆的方程；
（2）设P为椭圆上一点，且满足 $数学公式$ （O为坐标原点），当 $数学公式$ 时，求实数t的取值范围．

解：（1）由已知 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，
所以a²=4b²，c²=3b²所以 $\text{[math]}$
又由过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为 $\text{[math]}$
所以b=1
所以 $\text{[math]}$
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y）
设AB：y=k（x-3）与椭圆联立得 $\text{[math]}$
整理得（1+4k²）x²-24k²x+36k²-4=0，△=24²k⁴-16（9k²-1）（1+4k²）＞0得 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
由点P在椭圆上得 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，36k²=t²（1+4k²）
又由 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$
所以（1+k²）（x₁-x₂）²＜3（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]＜3（1+k²） $\text{[math]}$ ＜3
整理得：（8k²-1）（16k²+13）＞0
所以 $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$
由36k²=t²（1+4k²）得 $\text{[math]}$
所以3＜t²＜4，所以 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用离心率求得a和c关系，进而利用椭圆方程中a，b和c的关系求得a和b的关系，最后利用过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长求得b，则a可求得，椭圆的方程可得．
（2）设出A，B，P的坐标和AB的直线方程与椭圆的方程联立消去y，利用判别式大于0求得k的范围，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，利用 $\text{[math]}$ 求得k和t的关系，把点P坐标代入椭圆的方程，利用 $\text{[math]}$ 求得k的范围，进而利用k和t的关系求得t的范围．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的过程一般是把直线与圆锥曲线的方程联立，利用韦达定理和判别式来作为解题的关键．