题目内容
一个盒子装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R的函数：f1(x)=log2(x+
)，f2(x)=x2，f3(x)=
-
，f4（x）=sinx，f5（x）=cosx，f6（x）=2．
（Ⅰ）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到一个新函数，求所得的新函数是奇函数的概率；
（Ⅱ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．
| x2+1 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2x+1 |
（Ⅰ）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到一个新函数，求所得的新函数是奇函数的概率；
（Ⅱ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．
分析：（Ⅰ）设A表示“从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加，所得的新函数是奇函数”，由f1(x)=log2(x+
)是奇函数，f2(x)=x2是偶函数，f3(x)=
-
是奇函数，f4（x）=sinx是奇函数，f5（x）=cosx是偶函数，f6（x）=2是偶函数，能求出所得的新函数是奇函数的概率．
（Ⅱ）由题设知ξ可取1，2，3，4，分别求出P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4）的值，由此能求出抽取次数ξ的分布列和数学期望．
| x2+1 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2x+1 |
（Ⅱ）由题设知ξ可取1，2，3，4，分别求出P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4）的值，由此能求出抽取次数ξ的分布列和数学期望．
解答：解：（Ⅰ）设A表示“从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加，所得的新函数是奇函数”，
∵f1(x)=log2(x+
)是奇函数，
f2(x)=x2是偶函数，
f3(x)=
-
是奇函数，
f4（x）=sinx是奇函数，
f5（x）=cosx是偶函数，
f6（x）=2是偶函数．
∴P（A）=
=
．
（Ⅱ）由题设知ξ可取1，2，3，4，
P（ξ=1）=
=
，
P（ξ=2）=
•
=
，
P（ξ=3）=
•
•
=
，
P（ξ=4）=
•
•
•
=
，
∴ξ的分布列是：
Eξ=1×
+2×
+3×
+4×
=
．
∵f1(x)=log2(x+
| x2+1 |
f2(x)=x2是偶函数，
f3(x)=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2x+1 |
f4（x）=sinx是奇函数，
f5（x）=cosx是偶函数，
f6（x）=2是偶函数．
∴P（A）=
| ||
|
| 1 |
| 5 |
（Ⅱ）由题设知ξ可取1，2，3，4，
P（ξ=1）=
| ||
|
| 1 |
| 2 |
P（ξ=2）=
| ||
|
| ||
|
| 3 |
| 10 |
P（ξ=3）=
| ||
|
| ||
|
| ||
|
| 3 |
| 20 |
P（ξ=4）=
| ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
|
| 1 |
| 20 |
∴ξ的分布列是：
| ξ | 1 | 2 | 3 | 4 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 10 |
| 3 |
| 20 |
| 1 |
| 20 |
| 7 |
| 4 |
点评：本题考查离散型随机变量的数学期望和方差，是历年高考的必考题型，解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的合理运用．
练习册系列答案
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现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到一个新函数，求所得函数是奇函数的概率．
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