Question

【题目】如图，在正方体中，，，分别是，，的中点．

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）棱上是否存在点，使得∥平面？请证明你的结论；

（3）求直线与平面所成角的余弦值；

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根据题意，建立空间直角坐标系，利用空间向量即可得到结论.

（2）根据题意，利用空间向量计算，即可得在上存在点，使得平面

（3）利用空间向量计算得直线与平面所成角的正弦值，进而可得余弦值.

由题意，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，

设正方体的边长为，则，，，，，

（1）由题意，，，

所以，异面直线与所成角的余弦值，

故异面直线与所成角的余弦值为.

（2）在上存在点，使得平面，此时有.证明如下：

假设在棱上存在点，使得平面，设，则，

设平面的一个法向量为，

由，即，取，解得，，

∴平面的一个法向量为，

由题意，得，即，即，

所以，在上存在点，使得平面，此时有.

（3）直线与平面所成角的正弦值：，

所以，直线与平面所成角的余弦值.