Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）若，试讨论函数的单调性；

（Ⅱ）设，当对任意的恒成立时，求函数的最大值的取值范围.

Answer 1

【答案】（I）详见解析；（II）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求导得.结合，可得在上递减，在上递增.

（Ⅱ）由对任意的恒成立 可得.又由（Ⅰ）知，当时， ，可得

对 求导，研究其最值，并求其范围即可

试题解析：

（Ⅰ）.

因为，则时时，

∴在上递减，在上递增.

（Ⅱ）当时，若，则.

所以对任意的恒成立 ， .

由（Ⅰ）知，当时， 在上递减，在上递增.

依题意，有，∴

.

∴.

设，则，

∵，∴，∴在上递增，

∵， .

因此，存在唯一，使得，

当时， ， ， 单调递增；

当时， ， ， 单调递减.

因此在处取得最大值，最大值为

，

设，则，

∴在上递减，∴，∴

∴时的最大值.

反之，任取，下证，

∵在上递减，在上递增，且时，

∴任取，存在唯一的，使得.

∵，∴在上递减，

∴时， .

综上，当对任意的恒成立时，函数最大值，最大值的取值范围为.

注：后半部分的证明是为了说明当在内变化时， 能取遍内的所有值，从而的最大值能取遍内所有的值，防止把的最大值的取值范围变大.