Question

（本题满分14分）如图，三棱锥P—ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB。（1）求证：AB平面PCB；（2）求二面角C—PA—B的大小．

Answer 1

(Ⅰ)略    (Ⅱ)  arcsin 

解析:

（1）∵PC平面ABC，平面ABC，

∴PCAB

∵CD平面PAB，平面PAB，

∴CDAB又，

∴AB平面PCB．…6分

（2）解法一：取AP的中点E，连结CE、DE．

∵PC=AC=2，∴CE PA，CE=．

∵CD平面PAB，

由三垂线定理的逆定理，得DE PA．

∴为二面角C-PA-B的平面角．

由(I) AB平面PCB，又∵AB⊥BC，又AB=BC，AC=2，可求得BC=．

　　在中，PB=，

    ．

    在中， sin∠CED=．

∴二面角C—PA—B的大小为arcsin．…………14分

   （2）解法二：

∵AB⊥BC，AB⊥平面PBC，过点B作直线l//PA，则l⊥AB，l⊥BC，以BC、BA、l所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系（如图）

设平面PAB的法向量为

则   即

解得  

令= -1,  得= (，0，-1)

   设平面PAC的法向量为=()．

，，

 则   即

解得   令=1,  得= (1，1，0)．

    =

∴二面角C—PA—B的大小为arccos