Question

如图，已知扇形OPQ半径为1，圆心角为

π

3

，B是弧PQ上的动点，A、C分别在OP、OQ上，四边形OABC是平行四边形．记∠BOP=α，求当角α取何值时，平行四边形OABC的面积最大？并求出最大面积．

Answer 1

分析：过点B作BM⊥OP于M，则BM=sinα，OM=cosα，OA=OM-AM=cosα-

3

3

sinα，从而平行四边形ABOC的面积S=OA•BM，等于

1

3

sin(2α+

π

6

)-

3

6

．由0＜α＜

π

3

，可得当 2α+

π

6

=

π

2

时，S取得最大值．

解答：解：过点B作BM⊥OP于M，
则BM=sinα，OM=cosα，OA=OM-AM=cosα-

3

3

sinα，…（3分）
设平行四边形OABC的面积为S，则S=OA•BM=(cosα-

3

3

sinα)sinα…（4分）
=

1

2

sin2α+

3

6

cos2α-

3

6

=

1

3

(

3

2

sin2α+

1

2

cos2α)-

3

6

=

1

3

sin(2α+

π

6

)-

3

6

．…（7分）
由0＜α＜

π

3

，得

π

6

＜2α+

π

6

＜

5π

6

．
所以当2α+

π

6

=

π

2

，即α=

π

6

时，S最大=

3

6

．…（9分）

点评：本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式的应用，二倍角公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．