Question

如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为

π

3

的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP=α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．

Answer 1

分析：如图先用所给的角将矩形的面积表示出来，建立三角函数模型，再根据所建立的模型利用三角函数的性质求最值．

解答：解：如图，在Rt△OBC中，OB=cosα，BC=sinα，
在Rt△OAD中，

DA

OA

=tan60°=

3

，所以OA=

3

3

DA=

3

3

BC=

3

3

sinα．
所以AB=OB-OA=cosα-

3

3

sinα．
设矩形ABCD的面积为S，则S=AB•BC=（cosα-

3

3

sinα）sinα=sinαcosα-

3

3

sin²α
=

1

2

sin2α+

3

6

cos2α-

3

6

=

1

3

（

3

2

sin2α+

1

2

cos2α）-

3

6

=

1

3

sin（2α+

π

6

）-

3

6

．
由于0＜α＜

π

3

，所以当2α+

π

6

=

π

2

，即α=

π

6

时，S_最大=

1

3

-

3

6

=

3

6

．
因此，当α=

π

6

时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为

3

6

．

点评：本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行化简．