Question

6．若函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x+m在区间[0，$\frac{π}{2}$]的最大值为6．
（1）求常数m的值；
（2）求函数当x∈R时的最小值，并求出相应的x的取值集合；
（3）求该函数x∈[0，π]的单调增区间．

Answer 1

分析 化简函数的解析式为一个角的一个三角函数的形式，
（1）利用已知条件求出相位的范围，然后求解m即可．
（2）求出函数的最小值，然后求解x的集合．
（3）利用正弦函数的单调区间求解函数的单调区间即可．

解答 解：$f（x）=\sqrt{3}sin2x+1+2cos2x+m=2sin（2x+\frac{π}{6}）+m+1$
（1）∵函数f（x）在区间$[0，\frac{π}{6}]$上为增函数，在区间$[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$上为减函数，
∴在区间$[0，\frac{π}{2}]$的最大值为$f（\frac{π}{6}）=2sin（2×\frac{π}{6}+\frac{π}{6}）=2+m+1$=6，
∴解得m=3．
（2）$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+4$（x∈R）的最小值为-2+4=2．
此时x的取值集合由$2x+\frac{π}{6}=\frac{3π}{2}+2kπ，（k∈Z）$，
解得：$\{x|x=\frac{2π}{3}+kπ，k∈Z\}$…（7分）
（3）函数设z=$2x+\frac{π}{6}$，函数f（x）=2sinz+4的单调增区间为$[-\frac{π}{2}+2kπ，\frac{π}{2}+2kπ]$
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，得$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$，
设A=[0，π]
B={x|$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$}，∴$A∩B=[0，\frac{π}{6}]∪[\frac{2π}{3}，π]$
∴$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+4$，x∈[0，π]的增区间为：$[0，\frac{π}{6}]，[\frac{2π}{3}，π]$．…（13分）

点评 本题考查两角和与差的三角函数，函数的最值以及函数的单调区间的求法，考查计算能力．