Question

14．在等差数列{a_n}中，首项a₁=-1，数列{b_n}满足b_n=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{a}_{n}}$，且b₁b₂b₃=$\frac{1}{64}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设c_n=（-1）ⁿa_n，求数列{c_n}的前2n项和T_2n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用分组求和即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵${a_1}=-1，{b_n}={（\frac{1}{2}）^{a_n}}$，
∴${b_1}={（\frac{1}{2}）^{-1}}，{b_2}={（\frac{1}{2}）^{-1+d}}，{b_3}={（\frac{1}{2}）^{-1+2d}}$．
由${b_1}{b_2}{b_3}=\frac{1}{64}$得${（\frac{1}{2}）^{-3+3d}}=\frac{1}{64}$，解得d=3．
∴a_n=-1+（n-1）•3=3n-4．
（2）由（Ⅰ）得：c_n=（-1）ⁿ（3n-4），
∴${c_{2n-1}}+{c_{2n}}={（-1）^{2n-1}}[{3×（2n-1）-4}]+{（-1）^{2n}}（3×2n-4）=-（6n-7）+（6n-4）=3$，
∴T_2n=c₁+c₂+c₃+c₄+…+c_2n-1+c_2n=（c₁+c₂）+（c₃+c₄）+…+（c_2n-1+c_2n）=3n．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．