Question

【题目】过点作直线与两坐标轴分别交于点、.当的面积在上变化时，直线条数的集合为______.

Answer 1

【答案】

【解析】

显然，直线有非零斜率，记为，又设直线的方程为.

问题转化为求的可能取值个数，分别取，，

得，，

则的面积为

.

讨论绝对值的符号得关于的两个方程

①

②

（1）当时，由知，可求出，.

满足条件的直线有2条.

（2）当时，式①、②均为的二次方程，其判别式为：

，

，

有.

故式①、②中至少存在一个方程有两个不相等的实根.分两种情况讨论.

1）当且时，直接由式①、②解出（注意），.

满足条件的直线有2条.

2）当且时，有三种情况.

（i）时，有或

满足条件的直线有2条.

（ii）时，有或

满足条件的直线有3条.

（iii）时，有且，满足条件的直线有4条.

综上知，满足条件的直线条数的取值集合为.