Question

3．已知抛物线方程y²=2px（p＞0），点A（x₁，y₁），点B（x₂，y₂）是抛物线上的两个动点，A、B两点分别位于x轴两侧，已知当OA⊥OB时，x₁x₂=4p²，y₁y₂=-4p²，且直线AB过定点（2p，0）
（1）若$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=3，当p=1时，求x₁x₂，y₁y₂的值；
（2）若$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=t（t≥0），试证明直线AB过定点，并求出定点坐标；
（3）在（2）条件下，k_OA为直线OA的斜率，k_OB为直线OB的斜率，若弦AB中点M在直线y=2上，证明k_OA+K_OB为定值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得y²=2x，设直线方程为x=my+n（m＞0），与抛物线方程联立，整理可得y²-2my-2n=0，利用$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=3，结合韦达定理，即可求x₁x₂，y₁y₂的值；
（2）若$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=t（t≥0），与（1）同法，求出n，即可证明直线AB过定点，并求出定点坐标；
（3）在（2）条件下，确定AB的中点（2m+n，2），利用韦达定理，证明k_OA+K_OB为定值．

解答 解：（1）由题意可得y²=2x，
设直线方程为x=my+n（m＞0），
与抛物线方程联立，整理可得y²-2my-2n=0，
∴y₁+y₂=2m，y₁y₂=-2n，
∵$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=3，∴x₁x₂+y₁y₂=3，
代入整理可得n²-2n-3=0，
∴n=3或n=-1（舍去）
∴y₁y₂=-6，x₁x₂=9；
（2）由（1）可知，直线方程x=my+n（m＞0），与y²=2px联立，整理可得y²-2pmy-2pn=0，
∴y₁+y₂=2pm，y₁y₂=-2pn，
∵$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=6，∴x₁x₂+y₁y₂=6，
代入整理可得n²-2pn-6=0，
∴n=p+$\sqrt{{p}^{2}+6}$或n=p-$\sqrt{{p}^{2}+6}$（舍去）
∴直线AB过定点（p+$\sqrt{{p}^{2}+6}$，0）；
（3）由（2）可得，AB的中点（pm²+n，pm），
∵弦AB中点M在直线y=2上，
∴pm=2，
∴AB的中点（2m+n，2），
∴k_OA+k_OB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{2m{y}_{1}{y}_{2}+n（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}+mn（{y}_{1}+{y}_{2}）+{n}^{2}}$=-$\frac{4}{n}$=-$\frac{4}{p+\sqrt{{p}^{2}+6}}$为定值．

点评 本题考查直线与抛物线的性质和应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答