Question

若函数f（x）=sin²ax-sinaxcosax（a＞0）的图象与直线y=m（m为实常数）相切，并且从左到右切点的横坐标依次成公差为的等差数列，
（Ⅰ）求m和a的值；
（Ⅱ）若点A（x，y）是y=f（x）图象的对称中心，且，求点A的坐标；
（Ⅲ）写出函数y=f（-x）的所有单调递增区间．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）化简函数f（x）=sin²ax-sinaxcosax为 ，求出它的最值，图象与直线y=m相切，所以最值就是m的值，利用公差与周期的关系即可求a；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，即可求出y=f（x）图象的对称中心的坐标；
（III）根据周期求出a的值后，然后利用三角函数的图象与性质结合整体思想再求函数f（-x）的单调增区间．
解答：解：（Ⅰ）
由于y=m与y=f（x）的图象相切，则；
因为切点的横坐标依次成公差为等差数列，
所以∴2a=4
故a=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
，
故
∴，，
∴．；
（Ⅲ）y=f（-x）=．
由得
所以函数y=f（-x）的单调递增区间为．
点评：本题考查正弦函数的单调性，等差数列的性质，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值，是中档题．