Question

【题目】已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点．

（1）若，证明：函数必有局部对称点；

（2）若函数在区间内有局部对称点，求实数的取值范围；

（3）若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

试题分析：(1)利用题中所给的定义，通过二次函数的判别式大于0，证明二次函数有局部对称点；(2)利用方程有解，通过换元，转化为打钩函数有解问题，利用函数的图象，确定实数c的取值范围；(3)利用方程有解，通过换元，转化为二次函数在给定区间有解，建立不等式组，通过解不等式组，求得实数的取值范围.

试题解析：(1)由得=,代入得,

=,得到关于的方程=).

其中,由于且,所以恒成立,

所以函数=)必有局部对称点.

(2)方程=在区间上有解,于是,

设),,,

其中，所以.

(3),由于,

所以=.

于是=(*)在上有解.

令),则,

所以方程(*)变为=在区间内有解,

需满足条件:.

即,，化简得.