[题目]已知椭圆的离心率为.且椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形周长为.(1)求椭圆的方程,(2)已知直线与椭圆相交于两点.①若线段中点的横坐标为.求的值,②在轴上是否存在点.使为定值?若是.求点的坐标,若不是.请说明理由. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】已知椭圆的离心率为，且椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形周长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线与椭圆相交于两点.

①若线段中点的横坐标为，求的值；

②在轴上是否存在点，使为定值？若是，求点的坐标；若不是，请说明理由.

【答案】（1）；（2）①,②.

【解析】分析：（1）先根据已知得到a,c的两个方程，解方程即得椭圆的方程.(2) ①,先联立直线与椭圆的方程得到韦达定理=2×，即得k的值. ②假设存在定点使得为定值，设点,先求，再分析得到，即得m的值.

详解：（1）由题意得：① ，②，

由①②解得：，∴，

∴椭圆的方程为.

（2）由消去得，

，

设，则，

①∵线段的中点的横坐标为，所以，即，

所以；

②假设存在定点使得为定值，设点，

所以

为定值，

即，故，

解得：，所以当时为定值，定值为.

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