Question

8．在△ABC中，tanA=$\frac{1}{2}$，tanB=$\frac{1}{3}$，c=$\sqrt{5}$，则△ABC的面积为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 根据两角和的正切函数的公式求出tan（A+B）的值，根据三角形的内角和定理得到A+B的度数即可得到C的度数，然后利用先切互化公式求出sinB和sinA，再根据正弦定理求出b，利用三角形面积公式求出三角形的面积即可．

解答 解：∵tanA=$\frac{1}{2}$，tanB=$\frac{1}{3}$，
∴由tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=1，
∵在△ABC中，0＜A+B＜π，
∴A+B=$\frac{π}{4}$，则C=$\frac{3π}{4}$；
∵由tanB=$\frac{1}{3}$，得sinB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，由tanA=$\frac{1}{2}$，得sinA=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵c=$\sqrt{5}$，
∴由正弦定理$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，得b=1，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{5}×\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{1}{2}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了学生会根据三角函数的值求对应的角，灵活运用先切互化的公式解决问题，以及会用正弦定理求三角形的面积，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．