Question

17．设（x）=|xe^x|，若关于x的方程（1-t）f²（x）+（t-2）f（x）+2t=0有四个不同的实数解，则实数t的取值范围为（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （0，$\frac{1}{e+1}$）
• C． （$\frac{e}{{e}^{2}+1}$，1）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 函数f（x）=|xe^x|是分段函数，通过求导分析得到函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，在（-∞，-1）上为增函数，在（-1，0）上为减函数，求得函数f（x）在（-∞，0）上，当x=-1时有一个最大值 $\frac{1}{e}$，所以，由（1-t）f²（x）+（t-2）f（x）+2t=0，可得f（x）=2或f（x）=$\frac{t}{1-t}$，要使方程（1-t）f²（x）+（t-2）f（x）+2t=0有四个实数根，可得0＜$\frac{t}{1-t}$＜$\frac{1}{e}$，即可求出实数t的取值范围．

解答 解：f（x）=|xe^x|=$\left\{\begin{array}{l}{x{e}^{x}，x≥0}\\{-x{e}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$，
当x≥0时，f′（x）=e^x+xe^x≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数；
当x＜0时，f′（x）=-e^x-xe^x=-e^x（x+1），
由f′（x）=0，得x=-1，当x∈（-∞，-1）时，f′（x）=-e^x（x+1）＞0，f（x）为增函数，
当x∈（-1，0）时，f′（x）=-e^x（x+1）＜0，f（x）为减函数，
所以函数f（x）=|xe^x|在（-∞，0）上有一个最大值为f（-1）=-（-1）e^-1=$\frac{1}{e}$，
由（1-t）f²（x）+（t-2）f（x）+2t=0，可得f（x）=2或f（x）=$\frac{t}{1-t}$
所以0＜$\frac{t}{1-t}$＜$\frac{1}{e}$，
所以0＜t＜$\frac{1}{1+e}$，
所以，使得关于x的方程（1-t）f²（x）-f（x）+t=0有四个不同的实数根的t的取值范围（0，$\frac{1}{1+e}$），
故选：B．

点评 本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，解答此题的关键是分析出方程（1-t）f²（x）+（t-2）f（x）+2t=0有四个实数根时f（x）的取值情况，此题属于中高档题．