Question

20．已知集合A={x|x•（x-2）≤0}，B={x|（$\frac{1}{2}$）^mx-2＞2}．
（1）若m=2，求A∩∁_RB；
（2）若A∪B=B，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分别求出集合A，B，再求出集合B的补集，根据交集的运算求出答案；
（2）A∪B=B，A⊆B，分类讨论，即可求出m的范围．

解答 解：（1）集合A={x|x•（x-2）≤0}=[0，2]，B={x|（$\frac{1}{2}$）^mx-2＞2}={x|mx＜1}，
∵（$\frac{1}{2}$）^mx-2＞2，
∴（$\frac{1}{2}$）^mx-2＞（$\frac{1}{2}$）^-1，
∴mx-2＜-1，
∴mx＜1，
∴B={x|mx＜1}，
当m=2时，B=（-∞，$\frac{1}{2}$），
∴∁_RB=[$\frac{1}{2}$，+∞），
∴A∩∁_RB=[$\frac{1}{2}$，2]；
（2）∵A∪B=B，
∴A⊆B，
当m＞0时，B=（-∞，$\frac{1}{m}$），
∴$\frac{1}{m}$＞2，
解得0＜m＜$\frac{1}{2}$，
当m＜0时，B=（$\frac{1}{m}$，+∞），
∴$\frac{1}{m}$＜0，
解得m＜0，
当m=0时，B=R，满足题意，
综上所述，m的取值范围为（-∞，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题主要考查补集的定义和求法，两个集合的交集的定义和求法，属于中档题．