Question

16．如图，从棱长为6cm的正方体铁皮箱ABCD-A₁B₁C₁D₁中分离出来由三个正方形面板组成的几何图形．
（1）记CC₁的中点为E，求异面直线EB₁与A₁C₁所成角的大小；
（2）如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛多少cm³体积的水．

Answer 1

分析 （1）取DD₁的中点F，连A₁F，则∠FA₁C₁为所求的角，然后利用余弦定理求之；
 （2）最多能盛多少水，实际上是求三棱锥C₁-CD₁B₁的体积．

解答 解：（1）取DD₁的中点F，连A₁F，则∠FA₁C₁为所求的角           …（2分）
在△FA₁C₁中，易知：A₁C₁为=6$\sqrt{2}$，FA₁=FC₁为=3$\sqrt{5}$，
cos∠FA₁C₁=$\frac{F{{A}_{1}}^{2}+{A}_{1}{{C}_{1}}^{2}-F{{C}_{1}}^{2}}{2F{A}_{1}×{A}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
所以∠FA₁C₁=arccos$\frac{\sqrt{10}}{5}$；                …（5分）
从而异面直线EB₁与A₁C₁所成角的大小为arccos$\frac{\sqrt{10}}{5}$；                 …（6分）
（2）最多能盛多少水，实际上是求三棱锥C₁-CD₁B₁的体积        …（9分）
${V}_{{C}_{1}-C{D}_{1}{B}_{1}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{6}^{3}$=36cm³．
用图示中这样一个装置来盛水，则最多能盛36cm³体积的水．…（12分）

点评 本题考查了正方体中异面直线所成的角以及三棱锥的体积求法；关键是将空间角转化为平面角解答．