Question

6．已知四棱锥p-ABCD中，pA⊥面ABCD，面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，∠ABC=45°，CB=$\sqrt{2}$，AB=2，PA=1．求证：BC⊥面PAC．

Answer 1

分析 利用勾股定理证明BC⊥AC，由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥BC．从而可证得BC⊥平面PAC

解答 证明：∵∠ABC=45°，CB=$\sqrt{2}$，AB=2，
∴AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos45°=4+2-2×$2×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=2．
则AC²+BC²=AB²，∴BC⊥AC．         
∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC．
又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．

点评 本题考查了线面垂直的判断，考查学生的推理论证能力，证明BC⊥AC是关键．