Question

设数列的首项，前项和满足关系式：
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设数列是公比为，作数列，使，
求和：；
（3）若，设，，
求使恒成立的实数k的范围.

Answer 1

解：（1）见解析；
（2）=

==
（3）．

本试题主要是考查了数列的通项公式的运用以及数列求和的综合运用
（1）由，得
，则，于是
又两式相减得
于是
因此得证。
（2）按题意，
故
由，可知数列与是首项分别为和，公差均为的等差数列，然后求解和式
（3）根据通项公式的裂项求和得到结论。
解：（1）由，得
，则，于是
又两式相减得
于是
因此，数列是首项为1，公比为的等比数列
（2）按题意，
故
由，可知数列与是首项分别为和，公差均为的等差数列，且，于是
=
==
（3）．
故．
．
所以数列的前n项和为。化简得对任意恒成立．
设，则……．
当为单调递减数列，为单调递增数列．
当,,为单调递减数列，当,,为单调递增数列．
，所以，n=5时，取得最大值为．
所以，要使对任意恒成立，．