Question

13．己知函数f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$（a+1）x²-ax，a∈R．
（Ⅰ） 讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ） 若f′（x）是f（x）的导函数，且不等式f′（x）≤xlnx恒成立，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题即xlnx+x²-（a+1）x+a≥0，令g（x）=xlnx+x²-（a+1）x+a，则g（1）=0，要使g（x）≥0对任意正数x恒成立，只需g（x）在x=1处取得最小值，得到关于a的方程，解出a，并检验即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=-（x-1）（x-a），
令f′（x）=0，解得：x=1或a，
a=1时，f′（x）≤0恒成立，f（x）在R递减，
a＞1时，令f′（x）＞0，解得：1＜x＜a，令f′（x）＜0，解得：x＞a或x＜1，
∴f（x）在（-∞，1）递减，在（1，a）递增，在（a，+∞）递减，
a＜1时，令f′（x）＞0，解得：a＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1或x＜a，
∴f（x）在（-∞，a）递减，在（a，1）递增，在（1，+∞）递减；
（Ⅱ）f′（x）≤xlnx即xlnx+x²-（a+1）x+a≥0，
令g（x）=xlnx+x²-（a+1）x+a，则g（1）=0，
要使g（x）≥0对任意正数x恒成立，
只需g（x）在x=1处取得最小值，
∵g′（x）=lnx+2x-a，g′（1）=2-a，令2-a=0，解得：a=2，
a=2时，g（x）=xlnx+x²-3x+2，g′（x）=lnx+2x-2，
∵g′（x）在（0，+∞）递增，且g′（1）=0，
∴g′（x）有唯一零点，且是x=1，
∴g（x）在x=1处取得最小值，且最小值是g（1）=0，即g（x）≥0，
综上，不等式f′（x）≤xlnx恒成立时，a=2．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．