Question

10．已知数列{a_n}的前n项和S_n=an²+bn．
（1）若a≠0，请用反证法证明：数列{S_n}不可能是等差数列；
（2）试判断数列{a_n}是否为等比数列？说明理由．

Answer 1

分析 （1）假设数列{S_n}是等差数列，求出S_n-S_n-1=（2n-1）a+b，由此能证明数列{S_n}不可能是等差数列．
（1）推导出a_n=（2n-1）a+b，从而得到数列{a_n}不为等比数列．

解答 证明：（1）假设数列{S_n}是等差数列，
∵a≠0，
∴S_n-S_n-1=（an²+bn）-[a（n-1）²+b（n-1）]=2an-a+b=（2n-1）a+b为常数，
由a≠0，得2n-1是常数，
与n∈N^*相矛盾，故假设不成立，
∴数列{S_n}不可能是等差数列．
解：（1）∵数列{a_n}的前n项和S_n=an²+bn，
∴a₁=a+b，
a_n=S_n-S_n-1=（an²+bn）-[a（n-1）²+b（n-1）]=2an-a+b=（2n-1）a+b，
n=1时，成立，
∴a_n=（2n-1）a+b，
$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{（2n-1）a+b}{（2n-3）a+b}$不是常数，
∴数列{a_n}不为等比数列．

点评 本题考查等差数列的证明和等比数列的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．