Question

9．在△ABC中，不等式$\frac{1}{A}$+$\frac{1}{B}$+$\frac{1}{C}$≥$\frac{9}{π}$成立；在四边形ABCD中，不等式$\frac{1}{A}$+$\frac{1}{B}$+$\frac{1}{C}$+$\frac{1}{D}$≥$\frac{16}{2π}$成立；在五边形ABCDE中，不等式$\frac{1}{A}$+$\frac{1}{B}$+$\frac{1}{C}$+$\frac{1}{D}$+$\frac{1}{E}$≥$\frac{25}{3π}$成立．
（1）根据以上结论猜想在n边形A₁A₂A₃…A_n中，有怎样的不等式成立．（不要求证明）
（2）数列{a_n}，满足a₁=1，a_n+1-a_n≤2，S_n为数列{a_n}的前n项和，试用（1）猜想的结论，证明不等式S_n≤（A₁+A₂+…A_n）（$\frac{1}{{A}_{1}}$+$\frac{1}{{A}_{2}}$+…+$\frac{1}{{A}_{n}}$）（n≥3）．

Answer 1

分析 （1）观察分子与多边形边的关系及分母中π的系数与多边形边的关系，即可得到答案．
（2）利用叠加法，可得S_n≤n²，根据（A₁+A₂+…A_n）（$\frac{1}{{A}_{1}}$+$\frac{1}{{A}_{2}}$+…+$\frac{1}{{A}_{n}}$）≥（n-2）π•$\frac{{n}^{2}}{（n-2）π}$=n²，即可证明结论．

解答 解：（1）在△ABC中，不等式$\frac{1}{A}$+$\frac{1}{B}$+$\frac{1}{C}$≥$\frac{9}{π}$成立；
在四边形ABCD中，不等式$\frac{1}{A}$+$\frac{1}{B}$+$\frac{1}{C}$+$\frac{1}{D}$≥$\frac{16}{2π}$成立；
在五边形ABCDE中，不等式$\frac{1}{A}$+$\frac{1}{B}$+$\frac{1}{C}$+$\frac{1}{D}$+$\frac{1}{E}$≥$\frac{25}{3π}$成立
…
归纳可得：在n边形A₁A₂A₃…A_n中，$\frac{1}{{A}_{1}}+\frac{1}{{A}_{2}}$+…+$\frac{1}{{A}_{n}}$≥$\frac{{n}^{2}}{（n-2）π}$．
证明：（2）∵数列{a_n}，满足a₁=1，a_n+1-a_n≤2，S_n为数列{a_n}的前n项和，
∴叠加可得a_n-1≤2（n-1），
∴a_n≤2n-1，
∴S_n≤n²，
∵（A₁+A₂+…A_n）（$\frac{1}{{A}_{1}}$+$\frac{1}{{A}_{2}}$+…+$\frac{1}{{A}_{n}}$）≥（n-2）π•$\frac{{n}^{2}}{（n-2）π}$=n²，
∴．S_n≤（A₁+A₂+…A_n）（$\frac{1}{{A}_{1}}$+$\frac{1}{{A}_{2}}$+…+$\frac{1}{{A}_{n}}$）（n≥3）．

点评 本题考查归纳推理，考查不等式的证明，其中根据已知分析分子与多边形边的关系及分母中π的系数与多边形边的关系，是解答本题的关键．