Question

20.已知i，m，n是正整数，且1<i≤m<n.

Ⅰ.证明　nⁱ<mⁱ；

Ⅱ.证明　(1+m)ⁿ>(1+n)^m.

Answer 1

20.本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力.

　

Ⅰ.证明：对于1<i≤m,有

=m……(m－i+1)，

……，

 

同理　……，

由于m＜n，对整数k=1，2，…，i－1，有＞，

所以　＞，即mⁱ＞nⁱ.

 

Ⅱ.证明：由二项式定理有

(1＋m)ⁿ=，

(1＋n)^m=，

由Ⅰ知mⁱ＞nⁱ(1＜i≤m＜n)，

而　＝，＝，

所以，mⁱ＞nⁱ(1＜i≤m＜n).

因此，＞.

又　m⁰=n⁰=1，m＝n=mn，mⁱ＞0(m＜i≤n).

所以　＞.

即　(1＋m)ⁿ＞(1+n)^m.