Question

【题目】如下图，三棱柱的各棱长都是2，，，，分别是，的中点.

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

(1) 取中点，连，，证明平面平面，然后可证明平面平面.
(2) 连接、，作于.连接,即为所求角,然后归结到三角形中求解.

解：（1）取中点，连，，

∵是的中位线，

∴，

又∵平面，

∴平面.

∵在中，，分别是，的中点.

∴.又∵平面，

∴平面.

又∵，

∴平面平面，

∵平面，

∴平面.

（2）∵，

∴即求直线与平面所成角的正弦值.

连接、，作于.连接.

由条件可知，是正三角形，

∴，

同理，又∵，

∴平面.

又∵平面.

∴平面平面.

∵平面，且.

∴平面.

∴即为所求角.

由条件知，

∴.

∴，∴.

∴.又∵，

∴.

∴所求值为.