Question

【题目】已知抛物线方程，为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：.

（1）当时，求；

（2）证明：存在常数，使得.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）求得抛物线的焦点和准线方程，求得PF的斜率和方程，解得Q的坐标，由两点的距离公式可得所求值；

（2）求得P（﹣1，0），可得a＝2，设P（﹣1，yP），yP＞0，PF：x＝my+1，代入抛物线方程，求得Q的纵坐标，计算2d（P）﹣|PF|，化简整理即可得证.

（1）抛物线方程y2＝4x的焦点F（1，0），准线方程 ,当，

kPF＝＝，PF的方程为y＝（x﹣1），代入抛物线的方程，解得xQ＝，

抛物线的准线方程为x＝﹣1，可得|PF|＝＝，

|QF|＝+1＝，d（P）＝＝；

（2）当时，易得，不妨设，

直线，则，

联立，得， ，

，

所以存在常数，使得.